| (1) | 4x＋3y | 3(2x−y)−2(x−3y)＝6x−3y−2x＋6y＝4x＋3y。かっこの前が − のときは符号に注意。 |
| (2) | a＋3b4 | 通分して 3a＋b4−2(a−b)4＝3a＋b−2a＋2b4＝a＋3b4 |
| (3) | 12x³y | (−2x)²＝4x² なので、4x²×3xy＝12x³y。（−2x)² の 2乗は符号もふくめて 2乗する。 |
| (4) | −2a | 8a²b ÷ (−4ab)＝8a²b−4ab＝−2a |
| (5) | −8xy² | 12x²y ÷ (−3x) × 2y＝12x²y × 2y−3x＝−8xy²。÷ は逆数のかけ算にして一気に約分する。 |
| (6) | −2x | 34x²y ÷ (−38xy)＝3x²y4×(−83xy)＝−2x |
| (1) | y＝12−3x2 （＝6−32x） | 3x＋2y＝12 → 2y＝12−3x → 両辺を 2 でわる。 |
| (2) | a＝ℓ2−b | ℓ＝2(a＋b) → ℓ2＝a＋b → a＝ℓ2−b （a＝ℓ−2b2 でもよい） |
| (3) | b＝2Sh−a | S＝12(a＋b)h → 2S＝(a＋b)h → a＋b＝2Sh → b＝2Sh−a |
| ① | イ（二元一次方程式） | 2つの文字をふくむ一次方程式。 |
| ② | ウ（消去） | 一方の文字をなくすことを「消去する」という。 |
| ③ | ア（一元一次方程式） | 文字が1つだけの一次方程式。これまでに学習した形。 |
| ④ | エ（代入法） | 消去のしかたは「加減法」と「代入法」の2つ。 |
| (1) | x＝3、y＝4 | 加減法：2式をたすと 4x＝12 → x＝3。x＋y＝7 に代入して y＝4。 〔検算〕3＋4＝7 ○／3(3)−4＝5 ○ |
| (2) | x＝−1、y＝2 | 加減法：y の係数がそろっているので 上−下 で −3x＝3 → x＝−1。2(−1)＋3y＝4 → 3y＝6 → y＝2。 〔検算〕2(−1)＋3(2)＝4 ○／5(−1)＋3(2)＝1 ○ |
| (3) | x＝3、y＝−2 | 加減法：上×2＝8x−6y＝36、下×3＝9x＋6y＝15。たして 17x＝51 → x＝3。4(3)−3y＝18 → y＝−2。 〔検算〕4(3)−3(−2)＝12＋6＝18 ○／3(3)＋2(−2)＝9−4＝5 ○ |
| (4) | x＝3、y＝1 | 代入法：y＝2x−5 を下へ代入 3x＋2(2x−5)＝11 → 7x＝21 → x＝3。y＝2(3)−5＝1。 〔検算〕1＝2(3)−5 ○／3(3)＋2(1)＝11 ○ |
| (5) | x＝16、y＝5 | 代入法：x＝3y＋1 を下へ代入 2(3y＋1)−5y＝7 → y＝5。x＝3(5)＋1＝16。 〔検算〕16＝3(5)＋1 ○／2(16)−5(5)＝32−25＝7 ○ |
| (6) | x＝−2、y＝3 | 加減法：上×2＝10x＋4y＝−8。下とたして 13x＝−26 → x＝−2。5(−2)＋2y＝−4 → y＝3。 〔検算〕5(−2)＋2(3)＝−4 ○／3(−2)−4(3)＝−18 ○ |
| (1) | x＝4、y＝1 | かっこをはずす：2x−2＋3y＝9 → 2x＋3y＝11 …①／3x−2y−2＝8 → 3x−2y＝10 …② 加減法：①×2＝4x＋6y＝22、②×3＝9x−6y＝30。たして 13x＝52 → x＝4。①に代入 8＋3y＝11 → y＝1。 〔検算〕2(4−1)＋3(1)＝6＋3＝9 ○／3(4)−2(1＋1)＝12−4＝8 ○ |
| (2) | x＝6、y＝3 | 分母をはらう：上の両辺を 6倍して 3x＋2y＝24 …①／x−y＝3 → x＝y＋3 …② 代入法：①に②を代入 3(y＋3)＋2y＝24 → 5y＝15 → y＝3、x＝6。 〔検算〕62＋33＝3＋1＝4 ○／6−3＝3 ○ |
| (3) | x＝3、y＝1 | 小数を整数に：上の両辺を 10倍して 2x＋5y＝11 …①／3x−y＝8 → y＝3x−8 …② 代入法：①に②を代入 2x＋5(3x−8)＝11 → 17x＝51 → x＝3、y＝1。 〔検算〕0.2(3)＋0.5(1)＝0.6＋0.5＝1.1 ○／3(3)−1＝8 ○ |
| (4) | x＝3、y＝2 | 分母をはらう：上の両辺を 6倍して 3(x＋1)＋2(y−2)＝12 → 3x＋2y＝13 …①／x＋2y＝7 …② 加減法：①−② で 2x＝6 → x＝3。②に代入 3＋2y＝7 → y＝2。 〔検算〕3＋12＋2−23＝2＋0＝2 ○／3＋2(2)＝7 ○ |
| (1) | x＝−4、y＝1 | A＝B＝C は「A＝C」と「B＝C」の2本の式の組にして解く。 2x＋3y＝−5 …①／x−y＝−5 …② 代入法：②より x＝y−5。①に代入 2(y−5)＋3y＝−5 → 5y＝5 → y＝1、x＝−4。 〔検算〕2(−4)＋3(1)＝−5 ○／(−4)−1＝−5 ○（両方とも −5 で等しい） |
| (2) | x＝2、y＝1 | 4x＋7y＝15 …①／3x＋9y＝15 …② ②は両辺を 3でわって x＋3y＝5 → x＝5−3y。 代入法：①に代入 4(5−3y)＋7y＝15 → −5y＝−5 → y＝1、x＝2。 〔検算〕4(2)＋7(1)＝15 ○／3(2)＋9(1)＝15 ○（両方とも 15 で等しい） |
| (1) | ア、エ | 二元一次方程式＝文字が2つで、どちらも1次の方程式。イは x² があるので2次、ウは文字が1つなので一元一次方程式。 |
| (2) | ア、イ | ア：2＋(−3)＝−1 ○、4−(−3)＝7 ○。イ：6−3＝3 ○、2＋6＝8 ○。ウ：2−(−3)＝5 ○ だが 2＋2(−3)＝−4≠4 ✕。両方成り立つものだけが解。 |
| ① | 10a＋b | 十の位が a、一の位が b の2けたの自然数。 |
| ② | 10b＋a | 位を入れかえると、十の位が b、一の位が a になる。 |
| ③ | 11a＋11b | (10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b |
| ④ | a＋b | 11a＋11b＝11(a＋b)。a、b は整数だから a＋b も整数。よって 11×（整数）＝11の倍数。 |
| y | y＝−1 | x＝2 を 2x＋3y＝1 に代入：4＋3y＝1 → 3y＝−3 → y＝−1。 |
| a | a＝5 | x＝2、y＝−1 を ax−y＝11 に代入：2a＋1＝11 → 2a＝10 → a＝5。 |
| (1) | x＝3、y＝2 | 4つの式はすべて同じ解をもつので、a、b をふくまない2式 x＋2y＝7 と 2x−y＝4 を組にして解く。 代入法：2x−y＝4 → y＝2x−4。x＋2(2x−4)＝7 → 5x＝15 → x＝3、y＝2。 〔検算〕3＋2(2)＝7 ○／2(3)−2＝4 ○ |
| (2) | a＝1、b＝−1 | x＝3、y＝2 を残り2式に代入：3a−2b＝5、3b＋2a＝−1。上×3＋下×2 で 13a＝13 → a＝1、b＝−1。 〔確認〕3(1)−2(−1)＝5 ○、3(−1)＋2(1)＝−1 ○ |
| ① | りんごを x 個、みかんを y 個とする | 求めたいものをそのまま x、y とおくのが基本。 |
| ② | x＋y＝15 120x＋80y＝1480 | 立式の根拠／1本目：りんごの個数＋みかんの個数＝合わせて買った個数 なので x＋y＝15。 2本目：（りんご1個の値段）×（個数）＋（みかん1個の値段）×（個数）＝代金の合計 なので 120x＋80y＝1480。 |
| ③ | りんご 7個、みかん 8個 | 代入法：y＝15−x を 120x＋80y＝1480 に代入：120x＋80(15−x)＝1480 → 40x＝280 → x＝7、y＝8。 〔検算〕7＋8＝15 ○、120×7＋80×8＝840＋640＝1480 ○。どちらも自然数なので問題に適している。 |
| (1) | オ | x、y は道のりなので、時間＝道のり速さ。歩いた時間＋走った時間＝20 より x60＋y150＝20。 |
| (2) | ア | x、y は時間なので、時間の合計がそのまま x＋y＝20。もう1本は「道のりの合計」で 60x＋150y＝1650。 |
| (3) | 歩いた道のり 900m 走った道のり 750m | x＋y＝1650、x60＋y150＝20 を 300倍して 5x＋2y＝6000。 立式の根拠：道のりの合計＝1650m、時間の合計＝20分。 代入法：x＝1650−y を代入：5(1650−y)＋2y＝6000 → 8250−3y＝6000 → 3y＝2250 → y＝750、x＝900。 〔検算〕900＋750＝1650 ○／900÷60＝15分、750÷150＝5分、15＋5＝20分 ○（どちらも正の数で問題に適する） |
| 答 | 57 | 立式の根拠：十の位を a、一の位を b とすると、もとの数は 10a＋b、入れかえた数は 10b＋a。 「位の数の和が12」より a＋b＝12 …① 「入れかえた数はもとより18大きい」より (10b＋a)−(10a＋b)＝18 → 9b−9a＝18 → b−a＝2 …② 加減法：①＋② より 2b＝14 → b＝7、①に代入して a＝5。よってもとの自然数は 57。 〔検算〕5＋7＝12 ○、75−57＝18 ○。a＝5、b＝7 はどちらも 0〜9 の整数で、a≠0 なので 2けたの自然数として適する。 |
| (1) | a＝5、b＝10 | ふくまれる食塩の重さで式をつくる。 ・1つ目：200×a100＋300×b100＝500×8100 → 2a＋3b＝40 ・2つ目：全体は 300＋100＋100＝500g。水に食塩は入っていないので 300×a100＋100×b100＝500×5100 → 3a＋b＝25 加減法：3a＋b＝25 を3倍すると 9a＋3b＝75。ここから 2a＋3b＝40 をひいて 7a＝35 → a＝5。3(5)＋b＝25 → b＝10。 〔検算〕2(5)＋3(10)＝10＋30＝40 ○／3(5)＋10＝25 ○。濃度としても 10g＋30g＝40g、40÷500＝8％ ○／15g＋10g＝25g、25÷500＝5％ ○（a、b とも正の数で適する） |
| (2) | A：B＝4：1 | A を x g、B を y g 混ぜるとすると、食塩の重さは 0.05x＋0.10y、全体は (x＋y) g。 0.05x＋0.10y＝0.06(x＋y) → 両辺を 100倍して 5x＋10y＝6x＋6y → 4y＝x よって x：y＝4：1。 〔検算〕A 400g（食塩 20g）＋B 100g（食塩 10g）＝500g 中 30g → 30÷500＝6％ ○ |
| 知技1 | 知技2 | 知技3 | 知技4 | 知技5 | 知技6 | 知技7 | 知技 計 |
| 12 | 6 | 8 | 18 | 8 | 4 | 4 | 60 |
| 考1 | 考2 | 考3 | 考4 | 考5 | 考6 | 考7 | 考 計 |
| 8 | 4 | 5 | 7 | 7 | 3 | 6 | 40 |