2学年数学　定期テスト④　模範解答・解説
過去問リメイク版（2023・2024・2025年度 出題内容より／数値変更）
【配点】合計 100点
知識・技能＝52点：知技1（2点×5＝10）・知技2（2点×8＝16）・知技3（2点×4＝8）・知技4（2点×3＝6）・知技5（2点×4＝8）・知技6（2点×2＝4）
思考・判断・表現＝48点：考1（2点×3＝6）・考2（2点×3＝6）・考3（3点×2＝6）・考4（2点×2＝4）・考5（3点×2＝6）・考6（2点×4＝8）・考7（6点）・考8（6点）
小問数　計 44問
知技 1ことば［各2点／計10点］
①ア（対頂角）交点をはさんで向かい合う2つの角。対頂角はつねに等しい。
②カ（180°）三角形の内角の和は 180°。すべての角度の問題の出発点。
③キ（360°）多角形の外角の和は、何角形でもつねに 360°。内角の和とちがって n によらない。
④ク（鋭角三角形）3つの内角がすべて 90° より小さい三角形。1つが 90° なら直角三角形、1つが 90° より大きければ鈍角三角形。
⑤エ（内角）三角形の外角の性質。「外角＝となり合わない2つの内角の和」。角度の問題で最もよく使う。
知技 2∠x を求める［各2点／計16点］
(1)63°三角形の内角の和は 180°。180°−52°−65°＝63°
(2)115°外角の性質より、∠x＝42°＋73°＝115°。（180°−(180°−42°−73°)＝115° と計算してもよい）
(3)66°2辺に等しい印があるので二等辺三角形。頂角が 48° だから、底角は (180°−48°)÷2＝132°÷2＝66°
(4)70°底角が 55° なので、もう1つの底角も 55°。∠x（頂角）＝180°−55°×2＝70°
(5)83°折れ目を通り ℓ、m に平行な直線をひくと、∠x は錯角で 35° と 48° に分かれる。∠x＝35°＋48°＝83°
(6)52°直角三角形なので、残りの2つの内角の和は 90°。∠x＝90°−38°＝52°
(7)103°四角形の内角の和は 180°×(4−2)＝360°。∠x＝360°−(85°＋100°＋72°)＝360°−257°＝103°
(8)112°ℓ∥m のとき、同じ側にある内角（同側内角）の和は 180°。∠x＝180°−68°＝112°
知技 3多角形の角［各2点／計8点］
(1)1800°n 角形の内角の和＝180°×(n−2)。180°×(12−2)＝180°×10＝1800°
(2)162°内角の和は 180°×(20−2)＝3240°。正多角形は内角がすべて等しいので 3240°÷20＝162°。
別解：外角が 360°÷20＝18° なので、内角＝180°−18°＝162°。こちらの方がはやい。
(3)十一角形180°×(n−2)＝1620° → n−2＝1620÷180＝9 → n＝11
(4)正十五角形外角の和はつねに 360° なので、360°÷24°＝15（個）。頂点が15個だから正十五角形。
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知技 4三角形の分類［各2点／計6点］
①c（鈍角三角形）残りの内角は 180°−100°−35°＝45°。内角は 100°、35°、45° で、100° が鈍角。
②b（直角三角形）外角が 90° なら、となり合う内角は 180°−90°＝90°。
③a（鋭角三角形）外角 115°＝となり合わない2つの内角の和。一方が 65° なので、もう一方は 115°−65°＝50°。残りの内角は 180°−115°＝65°。内角は 65°、50°、65° ですべて鋭角。
知技 5合同な図形の性質［各2点／計8点］
(1)辺 DE△ABC≡△DEF は、A↔D、B↔E、C↔F の順に対応していることを表す。だから AB↔DE。
(2)∠BE に対応するのは B。
(3)5 cmBC に対応するのは EF。合同な図形の対応する辺は等しいので BC＝EF＝5cm。
(4)90°∠F に対応するのは ∠C。∠C＝180°−30°−60°＝90°。合同な図形の対応する角は等しいので ∠F＝90°。（AB＝10cm、∠A＝30°、∠B＝60°の三角形は ∠C＝90° の直角三角形で、BC は斜辺 AB の半分の 5cm となり、図の EF＝5cm と一致する）
知技 6合同な三角形と合同条件［各2点／計4点］
(1)エ　／　Bア・エはどちらも「5cm と 4cm の2辺と、その間の角 50°」。よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（B）。
※記号と合同条件の両方が合って2点。片方だけは1点。
(2)オ　／　Cウ・オはどちらも「5cm の辺と、その両端の角 40°・75°」。よって1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい（C）。
ダミーの2つについて　イは 3cm・4cm・6cm、カは 3cm・4cm・5cm で、3辺のうち1辺の長さがちがうので合同ではない。「2辺が同じ」だけでは合同といえないことに注意する。
よくあるまちがい　アとカを「4cm と 5cm が共通だから合同」としてしまう誤り。アは 4cm と 5cm の間の角が 50° と決まっているが、カは3辺が 3cm・4cm・5cm と決まっている別の三角形。実際、アの残りの辺は約 3.9cm で 3cm ではない。
■ 思考・判断・表現（48点）
考 1三角形の内角の和の説明［各2点／計6点］
①錯角DE∥BC で、AB が横断線。∠DAB と ∠B は2直線の内側で横断線の反対側にあるので錯角。
②∠C同じように AC を横断線とみると、∠EAC と ∠C が錯角になる。
③180D、A、E は一直線上にあるので、A のまわりの3つの角の和は一直線の角 180°。
まとめ　∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180° に ∠DAB＝∠B、∠EAC＝∠C を代入すると ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。つまり三角形の内角の和は 180°。平行線をひいて錯角を使うのがこの証明のかなめ。
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考 2n 角形の内角の和の説明［各2点／計6点］
①n内部の1点 O と n 個の頂点を結ぶと、辺の数と同じ n 個の三角形ができる。
②360点 O のまわりを1周した角なので 360°。
③180°×(n−2)180°×n−360°＝180°×n−180°×2＝180°×(n−2)。
「180n−360」と書いてあっても正解とする。
別の考え方　1つの頂点から対角線をひくと (n−2) 個の三角形に分かれるので、内角の和は 180°×(n−2)。この問題は「内部の点 O から結ぶ」やり方で、結果が同じになることを確かめている。
考 3角の和［各3点／計6点］
(1)180°星形五角形の2か所で三角形の外角の性質を使うと、5つの先端の角をすべて真ん中の1つの三角形の内角に集めることができる。その三角形の内角の和は 180°。
どんな形の星形五角形でも、先端の角の和はつねに 180°。
(2)∠x＝∠a＋∠b＋∠cAD をのばして、BC との交点を E とする。
△ABD で、∠BDE は頂点 D の外角だから　∠BDE＝∠BAD＋∠b　…（あ）
△ACD で、∠CDE は頂点 D の外角だから　∠CDE＝∠CAD＋∠c　…（い）
（あ）＋（い）より　∠x＝∠BDE＋∠CDE＝(∠BAD＋∠CAD)＋∠b＋∠c＝∠a＋∠b＋∠c
この「ブーメラン型（へこみのある四角形）」は入試でも頻出。「へこんだ角＝他の3つの角の和」とおぼえておくとよい。
考 4角度の応用［各2点／計4点］
(1)105°図3は図2と同じブーメラン型。考3(2) で確かめた ∠x＝∠a＋∠b＋∠c を使って、∠x＝50°＋25°＋30°＝105°。
(2)75°AB＝AC より ∠B＝∠C＝(180°−40°)÷2＝70°。
BD は ∠B の二等分線なので ∠DBC＝70°÷2＝35°。
△DBC で ∠BDC＝180°−35°−70°＝75°。
別解：△ABD の外角とみて ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝40°＋35°＝75°。
考 5一次関数の利用（料金プラン）［各3点／計6点］
(1)Aプラン　y＝100x＋800
Bプラン　y＝150x＋500		基本料金が切片、1時間あたりの料金が傾きになる。
両方そろって3点。片方だけなら1点。
(2)6 時間未満B の方が安い ⇔ 150x＋500 ＜ 100x＋800
　　50x ＜ 300　→　x ＜ 6
よって視聴時間が 6時間未満のとき B プランの方が安い。
検算：x＝4 のとき A＝1200円、B＝1100円（B が安い）。x＝8 のとき A＝1600円、B＝1700円（A が安い）。x＝6 でどちらも 1400円で等しい。
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考 6証明の穴うめ［各2点／計8点］
ア2組の辺とその間の角等しいとわかっているのは AO＝BO、CO＝DO の2組の辺と、その間の角 ∠AOC＝∠BOD。
イ辺 BD△AOC≡△BOD は A↔B、O↔O、C↔D の対応。AC に対応する辺は BD。
ウ∠BDO∠ACO（C が頂点）に対応するのは、D が頂点の ∠BDO。
エ∠OBD∠OAC（A が頂点）に対応するのは、B が頂点の ∠OBD。
考 7証明（記述）　四角形 ABCD、AB∥DC、AB＝DC［6点］
【模範解答例（全文）】
△ABC と △CDA において
　仮定より　　AB＝CD　　………①
　AB∥DC より、錯角は等しいので　∠BAC＝∠DCA　………②
　AC は共通　　　　………③
　①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
　　　　△ABC≡△CDA
採点のポイント（6点）
・仮定の明示：①（仮定より AB＝CD）が根拠つきで書けている …… 1点
・②（AB∥DC → 錯角は等しい → ∠BAC＝∠DCA）が根拠つきで書けている …… 2点
・③（AC は共通）が書けている …… 1点
・合同条件の明記：「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」 …… 1点
・結論：「△ABC≡△CDA」と、対応の順にそろえて書けている …… 1点
※ 根拠（「仮定より」「錯角は等しいので」「共通」）を書かずに式だけ並べた場合は、それぞれ1点減とする。
※ ②の根拠を「同位角」「対頂角」と書いた場合は不正解。AB と DC が平行で、AC が横断線なので錯角。
※ 書き出しを「△ABC と △ACD において」とすると対応がずれる。△CDA の順で書くこと。
考 8証明（記述）　二等辺三角形 ABC、AD＝AE、BE＝CD［6点］
【模範解答例（全文）】
△ABE と △ACD において
　仮定より　　AB＝AC　　………①
　仮定より　　AE＝AD　　………②
　∠A は共通　　　　………③
　①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
　　　　△ABE≡△ACD
　合同な図形の対応する辺は等しいので　　BE＝CD
採点のポイント（6点）
・△ABE と △ACD（BE・CD をふくむ三角形）を対応の順に正しく選べている …… 1点
・仮定の明示：①（AB＝AC）と ②（AE＝AD）が根拠つきで書けている …… 各1点（計2点）
・③（∠A は共通）が書けている …… 1点
・合同条件の明記：「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」 …… 1点
・結論：合同から「対応する辺は等しいので BE＝CD」まで書けている …… 1点
※ 「△ABE≡△ACD」で終わってしまい、BE＝CD の結論を書いていない場合は1点減。
※ ②を「AD＝AE」と書いてもよいが、対応は AE↔AD（△ABE の AE、△ACD の AD）である。
※ ∠A が2つの三角形に共通で、しかも①②の2辺の間の角になっていることが、この証明のかなめ。
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まとめ証明の書き方チェックリスト
① 2つの三角形を対応の順にそろえて書き出す（「△ABE と △ACD において」）
② 等しいことがらを3つ、①②③と番号をつけて並べる
③ それぞれに理由をそえる（仮定より／平行線の錯角は等しいので／共通／対頂角は等しいので　など）
④ 最後に合同条件を正確なことばで書く
　　・3組の辺がそれぞれ等しい
　　・2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
　　・1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
⑤ 結論「△○○○≡△△△△」で終える。さらに辺や角の等しさを示す問題では、「合同な図形の対応する辺（角）は等しいので …」をもう1行書く。
配点表大問別の得点配分
知技110点2点×5（ことば）
知技216点2点×8（∠x を求める）
知技38点2点×4（多角形の角）
知技46点2点×3（三角形の分類）
知技58点2点×4（合同な図形の性質）
知技64点2点×2（合同な三角形と合同条件）
小計52点知識・技能（小問 26問）
考16点2点×3（三角形の内角の和の説明）
考26点2点×3（n 角形の内角の和の説明）
考36点3点×2（角の和）
考44点2点×2（角度の応用）
考56点3点×2（一次関数の利用）
考68点2点×4（証明の穴うめ）
考76点証明（記述）
考86点証明（記述）
小計48点思考・判断・表現（小問 18問）
知識・技能 52点　＋　思考・判断・表現 48点　＝　合計 100点（小問 44問）
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