| ① | ○ | 「a の平方根」は 2乗して a になる数で、正と負の2つある。6²＝36、(−6)²＝36 なので ±6 で正しい。 |
| ② | ±3 | まず √81＝9。聞かれているのは「9 の平方根」なので ±3。 検算：3²＝9、(−3)²＝9 ○ ／ √81 をそのまま 81 と読みちがえて ±9 としないこと。この問題は毎年出る引っかけ。 |
| ③ | 7 | 記号 √ は正の平方根だけを表す。49 の平方根は ±7 だが、√49 は 7 のみ。 |
| ④ | ○ | 0.4²＝0.16 であり、√ は正のほうなので √0.16＝0.4。正しい。 |
| ⑤ | 6 | 先に中を計算する。(−6)²＝36 だから √36＝6。 一般に √a² は「a の絶対値」になる。a が負のときは符号が変わることに注意。 |
| (1) | 3√5 | 45＝9×5＝3²×5 → √45＝√3²×5＝3√5（最簡の形）。「√の中を素因数分解して、2個ずつ外に出す」 |
| (2) | 3√22 | 先に √8＝2√2 と簡単にしてから有理化する。 62√2＝3√2＝3×√2√2×√2＝3√22 （分母に √ が残っていないことを必ず確認） |
| (3) | −√5 ＜ −2 ＜ −√3 ＜ −1.5 | すべて √ の形にそろえて比べる。−2＝−√4、−1.5＝−√2.25。 中の数は 5 ＞ 4 ＞ 3 ＞ 2.25 だが、負の数は中が大きいほど小さいので順番が逆になる。 検算（概数）：−2.24 ＜ −2 ＜ −1.73 ＜ −1.5 ○ |
| (4) | 2個 | √0.04＝0.2（有理数）、√7（無理数）、π（無理数）、34（有理数）、√50√2＝√25＝5（有理数）、0（有理数）、−√9＝−3（有理数）。 √ がついていても、中が平方数なら有理数になる。見た目でなく計算してから判断する。 |
| (5) | 6個 | 各辺は正なので2乗してよい。3²＜a＜4² → 9＜a＜16。 a＝10、11、12、13、14、15 の 6個。（9 と 16 は不等号が ＜ なのでふくまない） |
| (6) | n＝5 | 180＝2²×3²×5。すでに 2 と 3 はペアになっているので、5 が1個あまる。 n＝5 とすれば 180n＝2²×3²×5²＝900＝30²。 検算：√900＝30（自然数）○ |
| (1) | 9√2 | √27×√6＝√162＝√81×2＝9√2（最簡） 別解：3√3×√6＝3√18＝3×3√2＝9√2（先に簡単にするほうが速い） |
| (2) | −4 | 符号は（＋）÷（−）×（＋）＝（−）。 √48÷√6×√2＝√48×26＝√16＝4 よって −4 |
| (3) | 5√3 | 符号は（−）×（＋）÷（−）＝（＋）。 √50×2114＝√75＝5√3（最簡） 50×21÷14 は、先に 21÷14＝32 と約分して 50×32＝75。 |
| (4) | −3√2 | 6√12＝62√3＝3√3＝3√33＝√3 √3×(−2√3)＝−2×3＝−6 −6÷√2＝−6√2＝−6√22＝−3√2 （分母の有理化を忘れない） |
| (1) | −3√7 | √7 を文字 a のように扱う。5a−8a＝−3a と同じ。よって (5−8)√7＝−3√7。 |
| (2) | 6√3 | まず全部 √3 にそろえる。√75＝5√3、√27＝3√3、√48＝4√3 5√3−3√3＋4√3＝(5−3＋4)√3＝6√3 |
| (3) | 5√2 − 5√3 | 分配法則でかっこを外す。 √5×√10＝√50＝5√2、 √5×√15＝√75＝5√3 √2 と √3 は中がちがうので、これ以上まとめられない。 |
| (4) | 10 + 2√21 | (a＋b)²＝a²＋2ab＋b² を使う。 ＝(√3)²＋2×√3×√7＋(√7)²＝3＋2√21＋7＝10＋2√21 21＝3×7 に平方因数はないので √21 が最簡。 |
| (5) | −9 + 2√6 | (x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab の形。x を √6 とみる。 ＝(√6)²＋(−3＋5)√6＋(−3)×5＝6＋2√6−15＝−9＋2√6 |
| (6) | −8 + 6√2 | 前半は和と差の積 (√5)²−(√2)²＝5−2＝3 後半は (√2−3)²＝2−6√2＋9＝11−6√2 3−(11−6√2)＝3−11＋6√2＝−8＋6√2 ひく式のかっこを外すとき、符号の変わり忘れがいちばん多い失点。 |
| (1) | 2(x + 2y)(x + 3y) | まず共通因数 2 をくくり出す。2(x²＋5xy＋6y²) かけて 6、たして 5 になるのは 2 と 3 → 2(x＋2y)(x＋3y) 検算（展開）：2(x²＋3xy＋2xy＋6y²)＝2x²＋10xy＋12y² ○ ／ 共通因数のくくり出しを忘れると満点にならない。 |
| (2) | (3x − 4y)² | 9x²＝(3x)²、16y²＝(4y)²、24xy＝2×3x×4y なので a²−2ab＋b²＝(a−b)² の形。 検算：(3x−4y)²＝9x²−24xy＋16y² ○ |
| (3) | (x − 6)(x + 5) | x＋2＝M とおく（おきかえ）。 M²−5M−24＝(M−8)(M＋3) M をもどして (x＋2−8)(x＋2＋3)＝(x−6)(x＋5) 検算：(x−6)(x＋5)＝x²−x−30。もとの式も (x＋2)²−5(x＋2)−24＝x²＋4x＋4−5x−10−24＝x²−x−30 ○ ／ もどしたあとにかっこの中を計算するところまでが答え。 |
| (4) | (x + y + 4)(x − y − 4) | 後ろの3項をまとめる（符号に注意）。 x²−(y²＋8y＋16)＝x²−(y＋4)² A²−B²＝(A＋B)(A−B) の形なので、A＝x、B＝y＋4 として ＝{x＋(y＋4)}{x−(y＋4)}＝(x＋y＋4)(x−y−4) 検算：x²−(y＋4)²＝x²−y²−8y−16 ○ |
| (1) | 411 | x＝0.363636… とおく。くり返しが2けたなので 100倍する。 100x＝36.363636… x＝ 0.363636… 辺々ひいて 99x＝36 → x＝3699＝411 検算：4÷11＝0.3636… ○ （約分を忘れない） |
| (2) | 3.84 × 105 m² | 有効数字3けたなので、上から3けた「3、8、4」をとって 3.84。 384000＝3.84×100000＝3.84×105 0 を数えて 10 の何乗かを決める。38.4×10⁴ は「整数部分が1けた」の条件に合わないので不可。 |
| (3) | 0.2236 | 小数のままでは与えられた値が使えない。分数に直すのがポイント。 √0.05＝√5100＝√510＝2.23610＝0.2236 検算：0.2236²＝0.049996… ≒ 0.05 ○ ／ √0.05＝√120 と考えて √2 を使おうとすると行きづまる。分母が 100（＝10²）になるように直す。 |
| (1) | a＝3 | 13 をはさむ平方数をさがす。9＜13＜16 だから √9＜√13＜√16 → 3＜√13＜4 よって整数部分は a＝3。（このとき小数部分は b＝√13−3 ≒ 0.606 で、0＜b＜1 を満たす ○） |
| (2) | 13 |
b＝√13−3。そのまま代入せず、先に因数分解する。 b²＋6b＋9＝(b＋3)² ここに b＋3＝(√13−3)＋3＝√13 を代入して (√13)²＝13 （小数部分）＝（もとの数）−（整数部分）という関係が使えるかがこの問題の山。 |
| (1) | n＝20 |
20＝2²×5。20n が平方数になるには、あまっている 5 をペアにすればよいので n＝5×(自然数)² の形 → n＝5、20、45、80、… このうち2けたでもっとも小さいのは n＝20。 検算：20×20＝400＝20² なので √400＝20（自然数）○ ／ n＝5 は1けたなので条件に合わず不適。 |
| (2) | n＝10、40、90、360 |
360＝2³×3²×5。360n が平方数になればよい。360 の約数のうち平方数は 1、4、9、36 の4つ。 360n＝36 のとき n＝10 ／ ＝9 のとき n＝40 ／ ＝4 のとき n＝90 ／ ＝1 のとき n＝360 （16、25 は 360 の約数ではないので、そうなる自然数 n は存在しない。） 検算：√36＝6、√9＝3、√4＝2、√1＝1 すべて自然数 ○ |
| (1) | √15 | x²−y²＝(x＋y)(x−y)＝√5×√3＝√15 （15＝3×5 に平方因数はないので最簡） |
| (2) | 4 | x²＋y²＝(x＋y)²−2xy＝(√5)²−2×12＝5−1＝4 検算（概数）：x≒1.986、y≒0.252 より x²＋y²≒3.944＋0.063≒4.01 ○ |
| 答 | 4√2 cm |
立式の根拠：正方形の1辺の長さは（面積）の正の平方根（長さは負にならないので負の平方根は不適）。周の長さ＝4×（1辺）。 ア の1辺＝√32＝4√2（cm） → 周の長さ＝4×4√2＝16√2（cm） イ の1辺＝√50＝5√2（cm） → 周の長さ＝4×5√2＝20√2（cm） 差は 20√2−16√2＝4√2（cm） （≒5.66cm ＞ 0 で、イのほうが長いという条件に適する ○） 別解：1辺の差が 5√2−4√2＝√2 cm なので、周の差はその4倍で 4√2 cm。 ※ √50−√32＝√18 としてしまう誤りに注意（√ どうしはそのままひけない）。 |
| (1) | （−3−√3，−√3） |
ℓ：y＝x＋3 と n：y＝−√3 を連立する。 x＋3＝−√3 → x＝−3−√3 よって交点は（−3−√3，−√3） 検算：x＋3＝(−3−√3)＋3＝−√3 ○ |
| (2) | 12 + 6√3 |
m と n の交点は −x＋3＝−√3 → x＝3＋√3 より（3＋√3，−√3） ℓ と m の交点は x＋3＝−x＋3 → x＝0、y＝3 より（0，3） 直線 n 上の辺を底辺とみると 底辺＝(3＋√3)−(−3−√3)＝6＋2√3 高さ＝3−(−√3)＝3＋√3 （頂点 (0,3) と直線 n の y 座標の差） 面積＝12×(6＋2√3)×(3＋√3)＝(3＋√3)×(3＋√3)＝(3＋√3)² ＝9＋6√3＋3＝12＋6√3 検算（概数）：底辺≒9.46、高さ≒4.73 → 面積≒22.4。12＋6×1.732≒22.4 ○ |