答えはすべて解答用紙に記入すること。比を答えるときは、もっとも簡単な整数の比で答えること。√ をふくむ答えは √ の中がもっとも簡単な数にすること。図は正確ではないので注意すること。
知技 1次の問いに答えなさい。［各2点／計12点］
下の図で、△ABC ∽ △DEF であり、AB＝6cm、BC＝6√3 cm、CA＝12cm、DE＝8cm である。
また、下の図で四角形ABCD ∽ 四角形EFGH であり、相似比は 2:5 である。
△ABC ∽ △DEF
四角形ABCD ∽ 四角形EFGH（相似比 2:5）
知技 2次の①〜⑤の図について、x の値を求めなさい。［各3点／計15点］
① DE∥BC
② DE∥BC
③ AD∥EF∥BC
④ p∥q∥r
⑤ AB∥DC
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知技 3次の①〜⑥の図について、x の大きさを求めなさい。点 O は円の中心とする。［各2点／計12点］
⑥ P は弦 AC と弦 BD の交点
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知技 4次の（1）〜（3）について、x の大きさを求めなさい。［各3点／計9点］
（1） 弧BC＝弧CD＝弧DE、∠BAE＝66°、x＝∠BAC
（2） O は円の中心、∠ABO＝25°、∠ACO＝40°、x＝∠BAC
（3） P は弦 AC と弦 BD の交点、
∠ADB＝35°、∠APB＝80°、x＝∠CAD
知技 5次の問いに答えなさい。［各3点／計12点］
- （1）
相似比が 3:5 である2つの図形 X、Y がある。X の面積が 18cm² のとき、Y の面積を求めなさい。
- （2）
下の図の2つの直方体 P、Q は相似で、相似比は 2:3 である。Q の体積が 54cm³ のとき、P の体積を求めなさい。
- （3）
下の図の2つの円錐 F、G は相似で、底面の半径の比は 3:4 である。F の表面積が 45cm² のとき、G の表面積を求めなさい。
- （4）
相似な2つの容器 A、B があり、その体積の比は 125:216 である。A と B の相似比を求めなさい。
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ここから「思考・判断・表現」の問題です。
考 1次の証明のア〜ウにあてはまることばや記号を答えなさい。［各2点／計6点］
下の図のように、△ABC の辺 AC 上に点 D をとり、∠ABD＝∠ACB とする。このとき △ABD ∽ △ACB であることを、次のように証明した。
【証明】
△ABD と △ACB において
仮定より、 ∠ABD ＝ ∠ACB ……①
共通な角だから、 ∠BAD ＝ ア ……②
①、②より、イがそれぞれ等しいので
△ABD ∽ △ACB
相似な図形では対応する辺の比は等しいので
AB : AC ＝ ウ : AB
考 2相似であることを証明しなさい。［6点］
下の図のように、平行四辺形 ABCD の辺 BC の延長上に点 E をとり、線分 AE と辺 CD との交点を F とする。このとき △ABE ∽ △FCE であることを証明しなさい。
平行四辺形の性質から AB∥DC、つまり AB∥FC であることが使える。「どの平行線の、どの角どうしが等しいのか」をはっきり書くこと。答えは解答用紙の証明らんに書きなさい。
【計算スペース】
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考 3右の図のように、四角形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点をそれぞれ P、Q、R、S とする。AC＝10cm、BD＝14cm であるとき、次の問いに答えなさい。［各3点／計6点］
- （1）
線分 PQ の長さを求めなさい。
- （2）
四角形 PQRS の周の長さを求めなさい。
対角線 AC、BD を引いて、中点連結定理が使える三角形を見つける。△ABC では P、Q がそれぞれ AB、BC の中点である。
考 4次の問いに答えなさい。［各3点／計6点］
（1） 右の図の △ABC で、点 D は辺 AB の中点、点 E、F は辺 BC を3等分する点である。線分 AF と線分 DC との交点を G とするとき、AG＝12cm であった。線分 GF の長さを求めなさい。
（2） 右の図の台形 ABCD で、AD∥BC、AD＝6cm、BC＝12cm である。対角線 AC と BD との交点を O とし、点 O を通り BC に平行な直線が辺 AB、DC と交わる点をそれぞれ P、Q とする。線分 PQ の長さを求めなさい。
AD∥BC より △OAD ∽ △OCB。まず AO:OC を求め、△ABC と △DBC でそれぞれ OP、OQ の長さを考える。
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考 5右の図のように、平行四辺形 ABCD の辺 BC 上に BE:EC＝2:1 となる点 E をとり、対角線 BD と線分 AE との交点を F とする。平行四辺形 ABCD の面積が 30cm² であるとき、次の問いに答えなさい。［各3点／計6点］
（1）は AD∥BE から △FBE ∽ △FDA を使う。
（2）は、まず △ABD の面積を求め、△ABF と △AFD の面積の比が BF:FD に等しいことを使う。
考 6右の図で、曲線 S は関数 y＝ax²（a＞0）のグラフで、点 A（−2，1）を通る。直線 ℓ は y＝x＋b のグラフで、点 A を通り、曲線 S との A でない交点を B とする。次の問いに答えなさい。［各3点／計6点］
（2）は、直線 ℓ と y 軸との交点を C として、△OAC と △OBC に分けて考える。
考 7この問題用紙の大きさは A4判です。［4点］
A判の紙は、面積が 1m² の長方形（A0）をもとにして、それを長いほうの辺の中点で次々と半分に切っていくと、A1、A2、… となります。このとき、できる長方形はすべてもとの長方形と相似になります。
A判の紙の長いほうの辺と短いほうの辺の比を x:1 とするとき、x の値を求めなさい。
A0 の短い辺を 1、長い辺を x とすると、A1 の2辺は 1 と x2 になる。相似であることから比の式をつくり、x についての方程式を解く。答えに √ が出るときは、√ の中をもっとも簡単な数にすること。
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知技 1相似な図形の基本［各2点／計12点］
| (1) | : | (2) | cm | (3) | cm |
|---|
| (4) | ° | (5) | cm | (6) | ° |
|---|
知技 2平行線と線分の比［各3点／計15点］
知技 3円周角［各2点／計12点］
| ① | x＝ ° | ② | x＝ ° | ③ | x＝ ° |
|---|
| ④ | x＝ ° | ⑤ | x＝ ° | ⑥ | x＝ ° |
|---|
知技 4円周角の応用［各3点／計9点］
知技 5相似な図形の面積比・体積比［各3点／計12点］
［知識・技能 配点表］ 知技1 2点×6＝12点／知技2 3点×5＝15点／知技3 2点×6＝12点／知技4 3点×3＝9点／知技5 3点×4＝12点 合計 60点
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考 1相似の証明（穴うめ）［各2点／計6点］
考 2相似の証明（記述）［6点］
考 3中点連結定理［各3点／計6点］
考 4平行線と比の応用［各3点／計6点］
考 5平行四辺形と面積比［各3点／計6点］
考 6放物線と直線［各3点／計6点］
考 7A判の紙と相似［4点］
［思考・判断・表現 配点表］ 考1 2点×3＝6点／考2 6点／考3 3点×2＝6点／考4 3点×2＝6点／考5 3点×2＝6点／考6 3点×2＝6点／考7 4点 合計 40点
［総合配点］ 知識・技能 60点 ＋ 思考・判断・表現 40点 ＝ 100点
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