3学年数学　定期テスト④　模範解答・解説
過去問リメイク版（2023・2024・2025年度 出題内容より／数値変更）　単元：相似な図形・平行線と線分の比・円周角
満点　100点
［配点表］
知識・技能（60点）　知技1　2点×6＝12点／知技2　3点×5＝15点／知技3　2点×6＝12点／知技4　3点×3＝9点／知技5　3点×4＝12点　小計 60点
思考・判断・表現（40点）　考1　2点×3＝6点／考2　6点／考3　3点×2＝6点／考4　3点×2＝6点／考5　3点×2＝6点／考6　3点×2＝6点／考7　4点　小計 40点
合計　60点＋40点＝100点　（小問数 37問）
知技 1相似な図形の基本［各2点／計12点］
(1)3 : 4AB:DE ＝ 6:8 ＝ 3:4（対応する辺の比）
(2)8√3 cmBC:EF ＝ 3:4 より 6√3:EF ＝ 3:4　→　3EF ＝ 24√3　→　EF ＝ 8√3
(3)16 cmCA:FD ＝ 3:4 より 12:FD ＝ 3:4　→　3FD ＝ 48　→　FD ＝ 16
(4)30°∠C ＝ 180°−60°−90° ＝ 30°。∠F は ∠C に対応するので ∠F ＝ 30°（辺の長さとも整合：AB＝6 は斜辺 CA＝12 の半分で、30°-60°-90° の三角形）
(5)15 cmAB:EF ＝ 2:5 より 6:EF ＝ 2:5　→　2EF ＝ 30　→　EF ＝ 15
(6)110°∠C は ∠G に対応する角。対応する角は等しいので ∠C ＝ 110°
ポイント　相似比は「対応する辺の比」。対応する角の大きさは相似比に関係なく等しい（(4)(6)）。辺を求めるときは必ず「対応する辺どうし」で比例式を立てる。
知技 2平行線と線分の比［各3点／計15点］
①x ＝ 10DE∥BC より AD:DB ＝ AE:EC　→　4:8 ＝ 5:x　→　4x ＝ 40　→　x ＝ 10
②x ＝ 9AD:DB ＝ AE:EC　→　6:x ＝ 4:6　→　4x ＝ 36　→　x ＝ 9
③x ＝ 9AE:EB ＝ 1:2。EF ＝ AD＋AEAB×(BC−AD) ＝ 6＋13×(15−6) ＝ 6＋3 ＝ 9
④x ＝ 6p∥q∥r より 12:8 ＝ 9:x　→　12x ＝ 72　→　x ＝ 6
⑤x ＝ 12AB∥DC より △OAB ∽ △OCD、相似比 AB:DC ＝ 6:9 ＝ 2:3。OB:OD ＝ 2:3　→　8:x ＝ 2:3　→　2x ＝ 24　→　x ＝ 12
ポイント　③は「台形の中に引いた平行線」。△ABD の中点連結型ではないので、AD と BC の差を AE:AB の割合で分けると考えると速い。
別解（③）：対角線 AC を引き、EF との交点を M とする。△ABC で EM∥BC、AE:AB ＝ 1:3 より EM ＝ 15×13 ＝ 5。△CAD で MF∥AD、CF:CD ＝ 2:3 より MF ＝ 6×23 ＝ 4。EF ＝ 5＋4 ＝ 9 ✔
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知技 3円周角［各2点／計12点］
①x ＝ 60°弧AB に対する中心角 120°、円周角 ∠ACB ＝ x。x ＝ 120°÷2 ＝ 60°
②x ＝ 76°円周角 ∠ACB ＝ 38°、中心角 ∠AOB ＝ x。x ＝ 38°×2 ＝ 76°
③x ＝ 63°AB が直径だから ∠ACB ＝ 90°（半円の弧に対する円周角）。x ＝ 180°−90°−27° ＝ 63°
④x ＝ 54°∠ACB と ∠ADB はどちらも弧AB に対する円周角。同じ弧に対する円周角は等しいので x ＝ 54°
⑤x ＝ 40°OA ＝ OB（半径）より △OAB は二等辺三角形。x ＝ (180°−100°)÷2 ＝ 40°
⑥x ＝ 65°△PAB で、∠PAB ＝ ∠CAB ＝ 40°、∠PBA ＝ ∠DBA ＝ 25°。x（＝∠APD）は △PAB の外角だから x ＝ 40°＋25° ＝ 65°
ポイント　円周角 ＝ 中心角 ÷ 2（①②）、同じ弧の円周角は等しい（④）、半円の弧に対する円周角は 90°（③）の3つが基本。
⑤は円周角ではなく「半径が2本 ⇒ 二等辺三角形」。中心角 100° を 2 で割って 50° としないこと。
⑥の「弦の交点にできる角」は、三角形の外角としてとらえるのがいちばん速い。
知技 4円周角の応用［各3点／計9点］
(1)x ＝ 22°弧BE に対する円周角 ∠BAE ＝ 66° なので 弧BE の中心角は 132°。弧BC＝弧CD＝弧DE より、弧BC の中心角は 132°÷3 ＝ 44°。x ＝ ∠BAC ＝ 44°÷2 ＝ 22°
（＝ 66°÷3 ＝ 22° と考えてもよい。等しい弧に対する円周角は等しい）
(2)x ＝ 65°OA＝OB（半径）より △OAB は二等辺三角形、∠OAB ＝ ∠OBA ＝ 25°。
OA＝OC（半径）より △OAC は二等辺三角形、∠OAC ＝ ∠OCA ＝ 40°。
x ＝ ∠BAC ＝ ∠OAB＋∠OAC ＝ 25°＋40° ＝ 65°
(3)x ＝ 45°△APD で、∠APB は頂点 P における外角だから
∠APB ＝ ∠PAD＋∠PDA　→　80° ＝ x＋35°　→　x ＝ 80°−35° ＝ 45°
ポイント　(1) 等しい弧に対する円周角は等しいので、∠BAE を 3 等分すればよい（66°÷3＝22°）。検算：中心角で見ると 弧BC＝弧CD＝弧DE＝44°、合計 132°、円周角 66° ✔
(2) 中心 O と円周上の点を結んだ線が出てきたら、まず「半径どうしは等しい ⇒ 二等辺三角形」を疑う。
(3) 検算：弧AB ＝ 35°×2 ＝ 70°、弧CD ＝ 45°×2 ＝ 90°。∠APB ＝ (70°＋90°)÷2 ＝ 80° ✔
知技 5相似な図形の面積比・体積比［各3点／計12点］
(1)50 cm²相似比 3:5　→　面積比 3²:5² ＝ 9:25。18:Y ＝ 9:25　→　9Y ＝ 450　→　Y ＝ 50
(2)16 cm³相似比 2:3　→　体積比 2³:3³ ＝ 8:27。P:54 ＝ 8:27　→　27P ＝ 432　→　P ＝ 16
(3)80 cm²相似比 ＝ 半径の比 ＝ 3:4　→　表面積比 3²:4² ＝ 9:16。45:G ＝ 9:16　→　9G ＝ 720　→　G ＝ 80
(4)5 : 6体積比 125:216 ＝ 5³:6³ なので、相似比は 5:6
ポイント　相似比 m:n のとき、面積比（表面積比）＝ m²:n²、体積比 ＝ m³:n³。(4) のように体積比から相似比を戻すときは3乗根を考える（8＝2³、125＝5³）。
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考 1相似の証明（穴うめ）［各2点／計6点］
ア∠CAB
（∠BAC でも可）		∠A は △ABD と △ACB に共通な角。△ACB の側の表し方で答える。
イ2組の角相似条件の3つのうち、角が2組等しいことを示したので「2組の角」。
ウAD△ABD ∽ △ACB は A↔A、B↔C、D↔B の対応。AB（△ABD）に対応するのは AC、AD（△ABD）に対応するのは AB。よって AB:AC ＝ AD:AB。
この式から AB² ＝ AC×AD も導ける。
【完成した証明】
△ABD と △ACB において
　仮定より、　∠ABD ＝ ∠ACB　　……①
　共通な角だから、　∠BAD ＝ ∠CAB　　……②
　①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので
　　　　△ABD ∽ △ACB
採点のポイント　ア・イは「∠」をつけて 3 文字の形（∠ACB など）で書けていれば正解。2 文字（∠A など）は、どの角か特定できないので不正解とする。ウは「2組の角がそれぞれ等しい」まで書いてあればもちろん正解。「2辺の比とその間の角」などは誤り。
考 2相似の証明（記述）［6点］
【模範解答例】
△ABE と △FCE において
　平行四辺形の対辺は平行だから　AB∥DC　すなわち　AB∥FC
　平行線の同位角は等しいので　　∠ABE ＝ ∠FCE　　……①
　共通な角だから　　　　　　　　∠AEB ＝ ∠FEC　　……②
　①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので
　　　　△ABE ∽ △FCE
採点のポイント（6点）
① 「△ABE と △FCE において」と、対応順をそろえて書き出している　…… 1点
② AB∥DC（AB∥FC）を平行四辺形の性質として根拠づけている　…… 1点
③ ∠ABE ＝ ∠FCE を同位角（平行線の性質）を根拠に示している　…… 2点
④ ∠AEB ＝ ∠FEC を共通な角として示している　…… 1点
⑤ 「2組の角がそれぞれ等しい」と結論づけている　…… 1点
よくある誤り　∠ABE ＝ ∠FCE を「錯角」としてしまう（E は B・C と同じ直線上にあり、AE が平行線 AB・FC を切る形なので同位角）。また、∠BAE ＝ ∠CFE を錯角として使う答案も、∠AEB ＝ ∠FEC と合わせて2組の角が示せていれば正解とする。
考 3中点連結定理［各3点／計6点］
(1)5 cm△ABC で、P、Q はそれぞれ AB、BC の中点。中点連結定理より PQ ＝ 12AC ＝ 12×10 ＝ 5
(2)24 cm同様に SR ＝ 12AC ＝ 5（△ACD）、QR ＝ PS ＝ 12BD ＝ 12×14 ＝ 7（△BCD、△ABD）。
周の長さ ＝ 5＋7＋5＋7 ＝ 24
ポイント　四角形の各辺の中点を結んでできる四角形 PQRS は、向かい合う辺がそれぞれ AC、BD に平行で長さが半分になるので、つねに平行四辺形になる。周の長さ ＝ AC＋BD ＝ 10＋14 ＝ 24 と一気に求めてもよい。
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考 4平行線と比の応用［各3点／計6点］
(1)4 cm補助線 DE を引く。
BE ＝ EF なので E は BF の中点、D は AB の中点だから、△ABF で中点連結定理より
　DE∥AF　かつ　DE ＝ 12AF　　……①
次に △CDE を見る。G は辺 CD 上、F は辺 CE 上にあり、GF∥DE だから △CGF ∽ △CDE。
EF ＝ FC より CF:CE ＝ 1:2 なので　GF ＝ 12DE　　……②
①②より GF ＝ 14AF、よって AG:GF ＝ 3:1。
12:GF ＝ 3:1　→　3GF ＝ 12　→　GF ＝ 4
(2)8 cmAD∥BC より △OAD ∽ △OCB、相似比 AD:CB ＝ 6:12 ＝ 1:2。よって AO:OC ＝ 1:2。
△ABC で OP∥BC だから AO:AC ＝ OP:BC　→　1:3 ＝ OP:12　→　OP ＝ 4。
同様に △DBC で OQ∥BC、DO:DB ＝ 1:3 だから OQ ＝ 4。
PQ ＝ OP＋OQ ＝ 4＋4 ＝ 8
ポイント（検算）
(1) BC を 3 等分した点が E、F。BE:EF:FC ＝ 1:1:1。AG:GF ＝ 3:1 なので AF ＝ 12＋4 ＝ 16cm。
(2) 台形の対角線の交点を通り底辺に平行な線分 PQ の長さは、公式 PQ ＝ 2×AD×BCAD＋BC ＝ 2×6×126＋12 ＝ 14418 ＝ 8 でも確認できる。✔
考 5平行四辺形と面積比［各3点／計6点］
(1)2 : 3AD∥BC より AD∥BE なので、錯角が等しく △FBE ∽ △FDA。
BE ＝ 23BC ＝ 23AD だから BE:DA ＝ 2:3。よって BF:FD ＝ 2:3
(2)6 cm²対角線 BD は平行四辺形を2等分するので △ABD ＝ 30÷2 ＝ 15(cm²)。
△ABF と △AFD は高さが等しいので、面積比 ＝ BF:FD ＝ 2:3。
△ABF ＝ 15×22＋3 ＝ 15×25 ＝ 6
考 6放物線と直線［各3点／計6点］
(1)a ＝ 14　，　b ＝ 3y＝ax² に A(−2，1) を代入：1 ＝ a×(−2)² ＝ 4a　→　a ＝ 14
y＝x＋b に A(−2，1) を代入：1 ＝ −2＋b　→　b ＝ 3
(2)12 cm²交点を求める：14x² ＝ x＋3　→　x² ＝ 4x＋12　→　x²−4x−12 ＝ 0　→　(x−6)(x＋2) ＝ 0
x ＝ 6、−2 なので B の x 座標は 6、y ＝ 6＋3 ＝ 9 より B(6，9)。
直線 ℓ と y 軸との交点を C とすると C(0，3)、OC ＝ 3。
△OAB ＝ △OAC＋△OBC ＝ 12×3×2 ＋ 12×3×6 ＝ 3＋9 ＝ 12
ポイント　(2) の分け方は「y 軸で2つの三角形に切る」。底辺を OC＝3 とし、高さは A、B の x 座標の絶対値（2 と 6）。
考 7A判の紙と相似［4点］
答x ＝ √2A0 の短い辺を 1、長い辺を x とすると、A1 は短い辺 x2、長い辺 1 の長方形。
A0 ∽ A1 だから　（長い辺）:（短い辺）が等しく
　x : 1 ＝ 1 : x2　→　x×x2 ＝ 1×1　→　x²2 ＝ 1　→　x² ＝ 2
x ＞ 0 だから　x ＝ √2　（≒1.41）
ポイント　答えは √2。√ の中の 2 はこれ以上簡単にできないので、これが最簡の形。分母に √ は残っていないので有理化も不要。
検算　A4 判の実寸は 297mm×210mm。297÷210 ＝ 1.414… ＝ √2 ✔
［配点表（再掲）］
区分知技1知技2知技3知技4知技5小計
配点2×6
＝12		3×5
＝15		2×6
＝12		3×3
＝9		3×4
＝12		60
区分考1考2考3考4考5考6・考7
配点2×3
＝6		63×2
＝6		3×2
＝6		3×2
＝6		6＋4
＝10（小計40）
合計　60点 ＋ 40点 ＝ 100点
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